北京时间5月12日中午，在国内上学的同学考完了AP微积分。目前来看，中国大陆、中国香港、韩国等考场，今年用的是同一套试卷。
本次，微积分AB的同学，没有反映有难题，基本都说考得比较顺利，但没有同学和我沟通过具体考了些什么题。正常来讲，有3道大题是AB和BC重叠的。有两位AB的同学私信反馈，说周叔的押题很准。
同学们所说的押题，是指下面这篇里的总结：
AP微积分考前终极嘱咐｜2025
其实没有什么神奇的，考来考去就是那么些东西。AP微积分的考试要求、题目风格、难度，已经很多年没有变化了。
微积分BC的同学反馈得比较多，大体说选择题比较简单，大题有点难。当然，也有很多同学发来表扬的：
结合同学们的反馈、与业内朋友的沟通，以及网上找到的资料，俺来为今年在亚洲考微积分BC的同学们做一些核对。
选择题
1. 有道题给了函数的二次导数的表达式，问它的图有多少个拐点（inflection points）。把握拐点的定义，结合“奇穿偶不穿”就只需要10秒钟。跟2019年亚太卷第10题很像。
2. 有道题，给出一个做曲线运动的物体的position vector，求它在某个时刻的加速度向量（acceleration vector）。很简单，position的横坐标、纵坐标分别算一下二次导数就好。
3. 有道题给了一个x和y的方程关系，然后需要你利用implicit differentiation的知识，求一下dy/dx。如果这个没学会，那就真的没有对AP微积分的学习上过心呀。
4. 有道题让求一个power series的radius of convergence，一般就是使用ratio test。如果题目给的是一个几何级数，那计算起来就更快了。如果你记得以某点为中心的幂级数的收敛域的特征，那有的题也可以代代选项试试，可能也能很快选出答案。
5. 有道题给了函数的图像，以及已知对应几个区域的面积，让你函数在一个区间里的定积分。那就是赤裸裸的在考定积分的几何意义了。
6. 考到了反三角函数的导数，记得住结果就好。
7. 有道题考了判断级数是否收敛的“极限比较判别法”，类似于《不扎心》上举的这个例子：
8. 有个选择题考了微分方程，问哪个选项，是满足题目中那个微分方程以及那个初始条件的solution，这种题一般套选项就好，比如2019年亚太卷的第16题：
看哪个选项既是在x=1那点的函数值为1，也满足：其导数等于2减去自己。
9. 有个关于几何级数的选择题，稍加努力，记得住几何级数的结论就是30秒内得这题的答案了。
10. 有道选择题考到了欧拉方法（Euler's method），计算过程很固定，套公式就好（虽然我很反对学数学就是记公式这种理念）。
其中，在某点的导数，往往是利用题目中给出的微分方程去计算出来。11. 有道题给了一个变上限积分函数，以及被积分函数的图，求这个变上限积分函数在某个区间的最大或者最小值，这也很常见，比如2019年北美卷第3大题的第3问：
12. 部分分式法（partial fraction）是肯定考了的。
13. 考了计算函数图像的渐近线。
14. 有道题是在定积分的计算中使用换元积分法。注意积分限跟着变化。
15. 考了洛必达法则，并且结合了微积分第一基础定理。
16. 考了一道积分区间为无穷大的反常积分（improper integral），并且该题目中还需要使用分部积分法（by parts）。这个反常积分的计算同2023年亚太卷大题第5题第2问的比较像：
17. 考了一个假分式（improper fraction）算不定积分的（先用长除法），我们的精讲班和复习课都有总结，复习群也发过一个这样的练习：
18. 考到了极坐标函数的图像在某点的切线的斜率。类似2019年亚太卷第22题：
关于选择题的，我就知道这些了。同学们做得怎么样？北美卷以及延迟考试的同学，题目是不一样的。我们不是在提前透题。
自由问答题第1题，已知一个装水的容器，一段时间内，水在注入进这个容器，注入的rate满足的函数关系告诉了我们。后面一段时间，水流出这个容器，并且已知流出去的rate所满足的函数关系。也一直一开始，容器里有多少水。
很多题都是这种背景，一进一出的两个变化，比如2018年北美卷大题第1题：
今年第1题第1问，让算流出去的速度在某个时刻的速度。用计算器按就好，这种题一般都会让你把单位表示出来——那就是流出去的速度的单位后面再加上per 时间单位（看题目里用的是minute还是second了）就好。第2问让算某个时间点，容器里有多少单位的水。那就是变化速度在t=0到那个时间点的区间计算定积分，再加上一开始就有的数量就好。《不扎心》里也有写：
第3问是让算一个分段函数在分界点连不连续。这没什么好说的了。第4问让算函数在一个区间的average value。这是送分题了，最后用计算器算出结果就好。
第2题，考了极坐标函数（polar function），给了俩函数，据说其中一个的函数图像像一个海星，也有同学说像一只蝴蝶。问题的设置有点像2014年亚太卷第2题和像2019年北美卷第2大题第2问的结合，前者是：
2014年这道的函数图像还像加菲猫呢，同学们还记得吗？只是题目中只画出了一部分。本次第2题第1问，让算由题中某个polar curve围成的、从0到2派的region的面积。直接套用公式就好，没有复杂性，没有跳跃。
第2问，算0到2派的区间内，题中两条曲线的距离的平均值。其实就是算0到2派积分（这两个函数相减）d sita，最后再除以2派就好。2014年北美卷大题第2题的第3问也说到了两条polar curves之间的距离。
第3问，求题中某个函数在某个区间里，到原点的距离最大是多少。类似于2014年亚太卷第2大题的b问。而且本次这题还没有图像发生跳跃的情况。直接找到题中那个函数在那个区间里的critical points，然后代回原函数算出在那几个点的结果，再算出原函数在那个区间的端点的结果，最后看哪个结果最大就好。掌握了计算absolute maximum的知识，并且知道，极坐标函数的r就是代表点到原点的距离，就很好办。第4问类似2014年亚太卷第2大题的最后一问。2014年那道题后两问的答案：
第3大题列了个表格，列出了函数f(x)和它的一次导数、二次导数，在某几个点的结果（标记出了具体数字或者说明了不存在），以及在某几个区间的正负。第1问，问到了函数的增减和凹凸性，很客观和简单的知识。
第2问，问到了Mean Value Theorem。答案是本题不能保证在那个区间里有满足MVT的点，因为函数在区间里有不可导的点，不满足MVT的条件。我们的精讲班也见过这样一个例题，题中函数图像是：
它在-4到3的区间里也不能保证有满足MVT结论的点，因为函数在x=-3那点还有x=0那点不可导。第3问考到了黎曼和去估算定积分。送分题，这要是做不对，那就真没辙了，那就真不应该学AP微积分。第4问考到了用product rule计算函数的导数，以及导数的正负跟函数的增减的关系。
应该也是属于送分题。第4题考了微分方程（differential equation），问了斜率场，让用某点的切线估算了函数在另一点的value，并且还问那个估算是估大了还是估小了，最后还让solve了一下题目中的微分方程。那这样的话，这道题的形式以及问题的设置，同2023北美卷第3大题很像，同2017年北美卷第4大题也很像。
考来考去反正就这么些东西，并没有难为同学们。还是对基础知识的理解和微积分的基础计算能力的考查。第5题，给了一个函数的一次导数的图。第1问，算一下图中函数在某点的导数，考了导数的几何意义。也可能题中出现了尖点或者有竖直切线的点（不可导的点）。第2问考了函数图像的凹凸性——看二次导数的正负或者一次导数的增减。
第3、4问考了曲线运动，问了speed和position。具体请参考《考前终极嘱咐》那篇里对曲线运动的问题的总结。AP微积分考前终极嘱咐｜2025第6题，当然是考无穷级数（series），题目条件给出了一个函数的麦克劳林级数（Maclaurin series），问得都比较常规。第1问，计算题中给出的power series的interval of convergence。
注：一个函数的泰勒级数也就是函数所等于的一个power series。根据同学们写给我的题目，此问，我算出的答案是：负无穷 < x < 正无穷。第2问，问题中函数在x=0这点是得到了一个relative maximum还是得到了一个relative minimum。2024年亚太卷最后一题第1问也这样考了。我在复习群也发过2010年大题第6题，其第2问也这么考了，它的答案如下：
今年这道题第2问，我得到的答案是：f has a relative maximum at x=0。第3问，先让用f的麦克劳林级数的前2项去估算f在某点的value，然后利用交错级数的知识，算一下误差边界。我的答案是 400多分之一，具体数字我就不写了。第4问让大家利用求反导，由f的麦克劳林级数写出另一个函数的麦克劳林级数。类似2017年北美卷大题第6题的c问，2017年的那个问题的解答是：
好了，就这些了。再次说明，北美卷的题目，延迟考试的题目，与5月12日亚太卷的题目是不一样的，但是考来考去就那么些知识点和提问方式。同学们还是以对知识点的掌握和基础计算能力的锻炼为本。很高兴陪同学们走了一段旅程。希望认真对待AP学习的同学都不会被辜负。希望特别喜欢临时临时临时抱佛脚的同学，往后能吸取经验教训。
希望人类从历史中唯一吸取到的经验教训，并不是没有吸取到任何经验教训。等待同学们7月初的好消息。
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